設(shè)x0為任意點，只要證明，lim(x-->x0-)f(x)=lim(x-->x0+)f(x)=f(x0) 即可，（左極限=右極限=函數(shù)值）。

證明在定義域的開區(qū)間任意一點x0有x→x0limf(x)=f(x0)，閉區(qū)間還需要證明在端點處單側(cè)連續(xù)。

連續(xù)函數(shù)是指函數(shù)y=f（x）當(dāng)自變量x的變化很小時，所引起的因變量y的變化也很小。例如，氣溫隨時間變化，只要時間變化很小，氣溫的變化也是很小的。

又如，自由落體的位移隨時間變化，只要時間變化足夠短，位移的變化也是很小的。對于這種現(xiàn)象，因變量關(guān)于自變量是連續(xù)變化的，連續(xù)函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的圖像是一條沒有斷裂的連續(xù)曲線。

反函數(shù)連續(xù)性：

如果函數(shù)f在其定義域D上嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù)，那么其反函數(shù)f-1也在其定義域f(D)（即f的值域）上嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù)。

證明：嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)必定有嚴(yán)格單調(diào)反函數(shù)，并且單調(diào)性相同（證法參考反函數(shù)詞條），因此只要證明反函數(shù)也在其定義域上連續(xù)即可。

設(shè)f是定義在D上的嚴(yán)格單增的函數(shù)（嚴(yán)格單減同理）。作輔助函數(shù)g(x)=x，顯然g(x)的反函數(shù)就是它本身。

由于g(x)在R上是連續(xù)的，因此它在D上也是連續(xù)的。

①若D是開區(qū)間，設(shè)x0是D上任意一點，由g(x)的連續(xù)性可知，對任意ε>0，存在δ>0，使得當(dāng)|x-x0|<δ時，|g(x)-g(x0)|<ε。即|x-x0|<ε。

于是可取區(qū)間(x0-δ,x0+δ)上滿足x1<x0<x2的兩點（前提是x1、x2落在D內(nèi)），根據(jù)f的連續(xù)性可知開區(qū)間(x1,x2)內(nèi)的所有x（包括x0）都滿足|x-x0|<ε。