12和15的最大公因數(shù)是3。15的因數(shù)有1、3、5、15。12和15的公因數(shù)是1、3，故12和15的最大公因數(shù)是3。公因數(shù)，亦稱“公約數(shù)”。它是一個能同時整除若干整數(shù)的整數(shù)。如果一個整數(shù)同時是幾個整數(shù)的因數(shù)，稱這個整數(shù)為它們的“公因數(shù)”；公因數(shù)中最大的稱為最大公因數(shù)。對任意的若干個正整數(shù)，1總是它們的公因數(shù)。
如果數(shù)a能被數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。約數(shù)和倍數(shù)都表示一個整數(shù)與另一個整數(shù)的關系，不能單獨存在。如只能說16是某數(shù)的倍數(shù)，2是某數(shù)的約數(shù)，而不能孤立地說16是倍數(shù)，2是約數(shù)。
"倍"與"倍數(shù)"是不同的兩個概念，"倍"是指兩個數(shù)相除的商，它可以是整數(shù)、小數(shù)或者分數(shù)。"倍數(shù)"只是在數(shù)的整除的范圍內，相對于"約數(shù)"而言的一個數(shù)字的概念，表示的是能被某一個自然數(shù)整除的數(shù)。
幾個整數(shù)中公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。例如：12、16的公約數(shù)有1、2、4，其中最大的一個是4，4是12與16的最大公約數(shù)，一般記為（12，16）=4。12、15、18的最大公約數(shù)是3，記為（12，15，18）=3。
幾個自然數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個自然數(shù)，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。例如：4的倍數(shù)有4、8、12、16，……，6的倍數(shù)有6、12、18、24，……，4和6的公倍數(shù)有12、24，……，其中最小的是12，一般記為[4，6]=12。12、15、18的最小公倍數(shù)是180。記為[12，15，18]=180。若干個互質數(shù)的最小公倍數(shù)為它們的乘積的絕對值。
在解有關最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)的問題時，常用到以下結論：
（1）如果兩個自然數(shù)是互質數(shù)，那么它們的最大公約數(shù)是1，最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的乘積。
例如8和9，它們是互質數(shù)，所以（8，9）=1，[8，9]=72。
（2）如果兩個自然數(shù)中，較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)，較大數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。
例如18與3，18÷3=6，所以（18，3）=3，[18，3]=18。
（3）兩個整數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商是互質數(shù)。
例如8和14分別除以它們的最大公約數(shù)2，所得的商分別為4和7，那么4和7是互質數(shù)。
（4）兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)與它們的最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。
例如12和16，（12，16）=4，[12，16]=48，有4×48=12×16，即（12，16）×[12，16]=12×16。
（5）GCD(a,b)is the smallest positive linear combination of a and b.a與b的最大公約數(shù)是最小的a與b的正線性組合，即對于方程xa+yb=c來說,若x，a，y，b都為整數(shù)，那么c的最小正根為gcd(a,b).
